[문제 1] 다음 제시문을 읽고 물음에 답하시오. (50점)
공간에서 두 평면 \(\alpha\)와 \(\beta\)의 교선을 \(\ell\)이라 하고, 두 평면이 이루는 각의 크기를 \(\theta\) \(\left(0 < \theta < \frac{\pi}{2}\right)\)라고 하자.
1-1 평면 \(\alpha\) 위에 삼각형 \(ABC\)가 있다. \(\overline{AB} = \overline{AC} = 1\)이고 각 \(A\)는 직각이며 선분 \(BC\)는 직선 \(\ell\)과 평행할 때, 선분 \(AB\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 길이를 구하시오. (30점)
1-2 평면 \(\alpha\) 위에 점 \(P\)와 \(Q\)가 있다. \(\overline{PQ} = 1\)이고 직선 \(PQ\)가 직선 \(\ell\)과 이루는 각의 크기를 \(t\)라고 할 때, 선분 \(PQ\)의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영의 길이를 구하시오. (30점)
1-3 평면 \(\alpha\) 위에 한 변의 길이가 \(1\)인 정삼각형 \(RST\)가 있고 이 삼각형의 평면 \(\beta\) 위로의 정사영을 삼각형 \(R'S'T'\)이라고 하자. \(\cos\theta = \frac{3}{\pi}\)일 때,
\[ \overline{R'S'}^2 + \overline{S'T'}^2 + \overline{T'R'}^2 \]
의 값을 구하시오. (40점)
[문제 2] 다음 물음에 답하시오. (50점)
2-1 주머니에 숫자 \(1, 2, 3\)이 각각 적힌 카드 \(3\)장이 들어 있다. 이 주머니에서 임의로 한 장의 카드를 꺼내어 숫자를 확인한 후 다시 주머니에 넣는 시행을 \(54\)회 반복할 때, 꺼낸 카드에 적힌 수의 평균을 \(\bar{X}\)라 하자. 이때 표본평균 \(\bar{X}\)는 근사적으로 정규분포를 따른다. \(-2\bar{X}\)의 평균과 분산을 구하고, \(P\left(-2\bar{X} \ge -\frac{11}{3}\right)\)의 값을 구하시오.
(단, \(Z\)가 표준정규분포를 따르는 확률변수일 때, \(P(0 \le Z \le 0.5) = 0.1915, P(0 \le Z \le 1.0) = 0.3413, P(0 \le Z \le 1.5) = 0.4332, P(0 \le Z \le 2.0) = 0.4772\)로 계산한다.) (30점)
2-2 함수 \(f(x) = \frac{\ln x}{x}\)를 이용하여 \(a^b = b^a\)을 만족시키는 서로 다른 양의 정수 \(a, b\)의 순서쌍 \((a, b)\)를 모두 구하시오. (40점)
2-3 \(n \ge 3\)인 자연수 \(n\)에 대하여 둘레의 길이가 \(1\)인 정 \(n\)각형의 넓이를 \(f(n)\)이라 하자. \(f(12)\)의 값을 구하고, \(\lim_{n \to \infty} f(n)\)의 값을 구하시오. (30점)